Чжу Хён вырос в компании брата Чжу Ильчона, который некоторое время занимал должность заместителя директора телеканала «KBS», а также был известным поэтом и талантливым университетским профессором.
Артист окончил университет «Konkuk» в Сеуле, специализируясь в области политологии и дипломатии. Первоначально Чжу Хён стал известен в качестве театрального актёра, когда в 1960 году начал работать в театре. В 1965 году артист был призван в армию, где служил районным офицером.
Чжу Хён начал актёрскую карьеру на телевидении в 1969 году после того, как был выбран на роль в проекте «Война во Вьетнаме» («Vietnam War Battlefield») через специальную программу по подбору персонала по корейской системе «Broadcasting». В 1990 году Чжу сыграл первую комедийную роль в дораме «Сеул Тукбэки» («Seoul Ttukbaeki»), которая стала хитом.
В 2004 году Чжу Хёну предложили роль в фильме «Семья» («A Family»), где он сотрудничал с популярной корейской актрисой Суэ, сыгравшей роль его дочери, с которой у него крайне сложные отношения. Актёрская игра Чжу была высоко оценена кинокритиками, и за это в октябре 2005 года артист получил награду за «Лучшую мужскую роль» на 50-м кинофестивале «Asia Pacific Film».
В 2006 году Чжу Хён снялся в музыкальной комедии «Лисья семейка» («The Fox Family»). Ради этой роли ему пришлось посещать уроки вокала и танцев в течение месяца. Актёр признался, что история показалась ему очень сложной, но одновременно смешной, поэтому он решил участвовать в проекте, бросив вызов самому себе.